खंड 1: मूलभूत प्रश्न (Basic Important) Section 1: Basic Important
Real Numbers
Q1. सिद्ध करें कि 3 + √2 एक अपरिमेय संख्या है। Q1. Prove that 3 + √2 is an irrational number.
हल:
चरण 1: माना कि 3 + √2 एक परिमेय संख्या है।
चरण 2: तब हम इसे p/q के रूप में लिख सकते हैं (जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0)।
3 + √2 = p/q
√2 = p/q - 3
√2 = (p - 3q) / q
चरण 3: चूँकि p और q पूर्णांक हैं, इसलिए RHS (p - 3q)/q एक परिमेय संख्या है।
चरण 4: इसका अर्थ है कि LHS (√2) भी परिमेय होनी चाहिए।
चरण 5: परंतु यह एक विरोधाभास है क्योंकि हम जानते हैं कि √2 एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, 3 + √2 एक अपरिमेय संख्या है।
 Solution:
Step 1: Let 3 + √2 be a rational number.
Step 2: So we can write it as p/q (where p, q are integers and q ≠ 0).
3 + √2 = p/q
√2 = p/q - 3
√2 = (p - 3q) / q
Step 3: Since p and q are integers, RHS (p - 3q)/q is rational.
Step 4: This implies LHS (√2) must also be rational.
Step 5: But this contradicts the fact that √2 is irrational.
Hence, 3 + √2 is an irrational number.
Polynomials
Q2. द्विघात बहुपद x² - 2x - 8 के शून्यक ज्ञात करें। Q2. Find zeroes of polynomial x² - 2x - 8.
हल:
x² - 2x - 8 = 0
x² - 4x + 2x - 8 = 0
x(x - 4) + 2(x - 4) = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
यदि x - 4 = 0, तो x = 4
यदि x + 2 = 0, तो x = -2
शून्यक: 4 और -2
 Solution:
x² - 2x - 8 = 0
x² - 4x + 2x - 8 = 0
x(x - 4) + 2(x - 4) = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
If x - 4 = 0, then x = 4
If x + 2 = 0, then x = -2
Zeroes: 4 and -2
खंड 2: दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5 अंक) Section 2: Long Answer (5 Marks)
Theorem (Geometry)
Q3. पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem) को सिद्ध करें। Q3. State and Prove Pythagoras Theorem.
कथन: एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
सिद्ध करना है: AC² = AB² + BC²
रचना: BD ⊥ AC खींचें।
प्रमाण:
1. ΔADB और ΔABC में:
AD/AB = AB/AC
⇒ AB² = AD × AC .....(i)
2. इसी प्रकार, ΔBDC ~ ΔABC:
CD/BC = BC/AC
⇒ BC² = CD × AC .....(ii)
3. समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:
AB² + BC² = AC (AD + CD)
AB² + BC² = AC × AC
अतः AC² = AB² + BC² (सिद्ध हुआ)
 Statement: In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of squares of the other two sides.
To Prove: AC² = AB² + BC²
Construction: Draw BD ⊥ AC.
Proof:
1. In ΔADB and ΔABC:
AD/AB = AB/AC
⇒ AB² = AD × AC .....(i)
2. Similarly, In ΔBDC and ΔABC:
CD/BC = BC/AC
⇒ BC² = CD × AC .....(ii)
3. Adding (i) and (ii):
AB² + BC² = AC (AD + CD)
AB² + BC² = AC × AC
Hence AC² = AB² + BC² (Proven)
Height & Distance
Q4. एक मीनार के पाद से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50m ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात करें। Q4. Angle of elevation of building top from tower foot is 30° and tower top from building foot is 60°. Tower height is 50m. Find building height.
हल:
माना मीनार CD = 50m और भवन AB = h मीटर। दूरी BD = x मीटर।
चरण 1: समकोण ΔCDB में:
tan 60° = 50 / x
x = 50 / √3 .....(i)
चरण 2: समकोण ΔABD में:
tan 30° = h / x
h = x / √3
चरण 3: x का मान रखने पर:
h = 50 / 3
भवन की ऊँचाई = 16.66 मीटर
 Solution:
Let Tower CD = 50m, Building AB = h. Distance BD = x.
Step 1: In ΔCDB:
tan 60° = 50 / x
x = 50 / √3 .....(i)
Step 2: In ΔABD:
tan 30° = h / x
h = x / √3
Step 3: Putting value of x:
h = 50 / 3
Building Height = 16.66 m
Mensuration
Q5. पानी पीने वाला एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक (Frustum) के आकार का है। दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं। धारिता ज्ञात करें। Q5. A glass is in shape of frustum of cone of height 14cm. Diameters are 4cm and 2cm. Find capacity.
हल:
h = 14 cm, R = 2 cm, r = 1 cm.
आयतन V = (1/3)πh (R² + r² + Rr)
V = (1/3) × (22/7) × 14 × [4 + 1 + 2]
V = (44/3) × 7
V = 308 / 3
धारिता = 102.66 cm³
 Solution:
h = 14 cm, R = 2 cm, r = 1 cm.
Volume V = (1/3)πh (R² + r² + Rr)
V = (1/3) × (22/7) × 14 × [4 + 1 + 2]
V = (44/3) × 7
V = 308 / 3
Capacity = 102.66 cm³
Quadratic Equations
Q6. एक रेलगाड़ी 360 km की दूरी तय करती है। यदि चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह 1 घंटा कम समय लेती। चाल ज्ञात करें। Q6. A train travels 360 km. If speed was 5 km/h more, it would take 1 hour less. Find speed.
हल:
माना चाल = x km/h.
समय अंतर: 360/x - 360/(x+5) = 1
360 [ (x+5-x) / (x(x+5)) ] = 1
1800 = x² + 5x
x² + 5x - 1800 = 0
(x + 45)(x - 40) = 0
x = 40 (धनात्मक)
चाल = 40 km/h
 Solution:
Let speed = x km/h.
Time Diff: 360/x - 360/(x+5) = 1
360 [ 5 / (x²+5x) ] = 1
x² + 5x - 1800 = 0
(x + 45)(x - 40) = 0
x = 40 (Positive)
Speed = 40 km/h
Statistics
Q7. माध्यक (Median) ज्ञात करें: वर्ग (0-10, ...), बारंबारता (4, 5, 13, 20, 14, 8, 4) Q7. Find Median: Class (0-10, ...), Freq (4, 5, 13, 20, 14, 8, 4)
हल:
CF निकालें। N = 68, N/2 = 34.
माध्यक वर्ग = 30-40 (CF 42 है)।
l=30, f=20, cf=22, h=10.
Median = 30 + [ (34 - 22)/20 ] × 10
= 30 + 6
माध्यक = 36
 Solution:
Calc CF. N = 68, N/2 = 34.
Median Class = 30-40.
l=30, f=20, cf=22, h=10.
Median = 30 + [ (34 - 22)/20 ] × 10
= 30 + 12/2
Median = 36
Trigonometry
Q8. सिद्ध करें: (tan A / 1 - cot A) + (cot A / 1 - tan A) = 1 + sec A cosec A Q8. Prove: (tan A / 1 - cot A) + (cot A / 1 - tan A) = 1 + sec A cosec A
हल:
sin/cos में बदलने पर:
= [ sin²A / cosA(sinA - cosA) ] - [ cos²A / sinA(sinA - cosA) ]
= (sin³A - cos³A) / sinA cosA (sinA - cosA)
a³-b³ सूत्र से:
= (sin²A + cos²A + sinA cosA) / sinA cosA
= (1 + sinA cosA) / sinA cosA
= 1 + sec A cosec A
 Solution:
Convert to sin/cos:
= [ sin²A / cosA(sinA - cosA) ] - [ cos²A / sinA(sinA - cosA) ]
= (sin³A - cos³A) / sinA cosA (sinA - cosA)
Using a³-b³:
= (1 + sinA cosA) / sinA cosA
= (1 / sinA cosA) + 1
= 1 + sec A cosec A
Construction
Q9. 4, 5, 6 cm भुजाओं वाले त्रिभुज के समरूप 2/3 गुनी भुजाओं वाला त्रिभुज बनाएँ। Q9. Construct a triangle similar to sides 4, 5, 6 cm with scale factor 2/3.
रचना:
1. BC=6cm खींचें। B से 4cm, C से 5cm चाप काटकर A मिलाएँ।
2. B से न्यूनकोण किरण खींचें, 3 बराबर चाप लगाएँ (B₁, B₂, B₃)।
3. B₃ को C से मिलाएँ।
4. B₂ से समांतर रेखा खींचें जो C' पर मिले।
5. C' से समांतर रेखा खींचें जो A' पर मिले।
ΔA'BC' अभीष्ट त्रिभुज है।
 Construction:
1. Draw BC=6cm. Construct ΔABC with 4cm, 5cm.
2. Draw ray from B, mark 3 arcs (B₁, B₂, B₃).
3. Join B₃C.
4. Draw parallel from B₂ to meet BC at C'.
5. Draw parallel from C' to meet AB at A'.
ΔA'BC' is the required triangle.
Coordinate Geometry
Q10. चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें: (-4, -2), (-3, -5), (3, -2), (2, 3)। Q10. Find Area of Quadrilateral: (-4, -2), (-3, -5), (3, -2), (2, 3).
हल:
विकर्ण AC द्वारा दो त्रिभुज बनाएँ: ΔABC और ΔADC.
Area(ΔABC) = 1/2 [ -4(-3) -3(0) + 3(3) ] = 21/2
Area(ΔADC) = 1/2 [ -4(-5) + 3(5) + 2(0) ] = 35/2
Total = 21/2 + 35/2 = 56/2
क्षेत्रफल = 28 वर्ग इकाई
 Solution:
Split into ΔABC and ΔADC.
Area(ΔABC) = 21/2
Area(ΔADC) = 35/2
Total = 56/2
Area = 28 sq units
AP
Q11. AP के प्रथम 14 पदों का योग 1050 है, प्रथम पद 10 है। 20वाँ पद ज्ञात करें। Q11. Sum of first 14 terms of AP is 1050, first term is 10. Find 20th term.
हल:
S₁₄ = 1050 ⇒ 7[20 + 13d] = 1050 ⇒ 20+13d = 150 ⇒ d=10.
a₂₀ = a + 19d = 10 + 190
20वाँ पद = 200
 Solution:
S₁₄ = 1050 ⇒ 7[20 + 13d] = 1050 ⇒ d=10.
a₂₀ = 10 + 19(10)
20th Term = 200
Theorem
Q12. सिद्ध करें कि बाहरी बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं। Q12. Prove tangents from external point to circle are equal.
प्रमाण:
ΔOQP और ΔORP में:
1. ∠OQP = ∠ORP = 90°
2. OQ = OR (त्रिज्या)
3. OP = OP (उभयनिष्ठ)
RHS से ΔOQP ≅ ΔORP.
अतः PQ = PR (CPCT)
 Proof:
In ΔOQP and ΔORP:
1. ∠90° each.
2. Radii equal.
3. Common hypotenuse.
By RHS, triangles congruent.
So PQ = PR
Mensuration
Q13. 6, 8, 10 cm त्रिज्या के गोलों को पिघलाकर बड़ा गोला बनाया गया। त्रिज्या ज्ञात करें। Q13. Melt spheres of radii 6, 8, 10 cm to form a large sphere. Find radius.
हल:
R³ = 6³ + 8³ + 10³ = 216 + 512 + 1000 = 1728
R = 12 cm
 Solution:
R³ = 6³ + 8³ + 10³ = 1728
R = 12 cm
Height & Distance
Q14. 7m ऊँचे भवन के शिखर से केबल टॉवर का उन्नयन कोण 60° और पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात करें। Q14. From 7m building top, angle of elevation of tower is 60° and depression of foot is 45°. Find tower height.
हल:
निचला Δ: tan 45 = 7/Base ⇒ Base = 7m.
ऊपरी Δ: tan 60 = h/7 ⇒ h = 7√3.
Total Height = 7 + 7√3.
H = 7(√3 + 1) m
 Solution:
Lower Δ: Base = 7m.
Upper Δ: h = 7√3.
Total = 7 + 7√3.
H = 7(√3 + 1) m
Circle Area
Q15. वृत्ताकार खेत की बाड़ का व्यय 5280 रु (24 रु/मी)। जुताई (0.50 रु/मी²) का खर्च ज्ञात करें। Q15. Fencing cost Rs 5280 (Rs 24/m). Find ploughing cost (Rs 0.50/m²).
हल:
परिधि = 5280/24 = 220m. ⇒ 2πr=220 ⇒ r=35m.
Area = πr² = 3850 m².
Cost = 3850 × 0.50
Cost = 1925 रु
 Solution:
Circumference = 220m ⇒ r=35m.
Area = 3850 m².
Cost = Rs 1925
Probability
Q16. 52 पत्तों में से: (i) लाल बादशाह, (ii) फेस कार्ड की प्रायिकता। Q16. From 52 cards, find prob of: (i) Red King, (ii) Face Card.
हल:
(i) लाल बादशाह (2) ⇒ P = 2/52 = 1/26.
(ii) फेस कार्ड (12) ⇒ P = 12/52 = 3/13.
1/26, 3/13
 Solution:
(i) Red Kings (2) ⇒ P = 1/26.
(ii) Face Cards (12) ⇒ P = 3/13.
1/26, 3/13
Linear Eq
Q17. वह भिन्न ज्ञात करें जो अंश से 1 घटाने पर 1/3 और हर में 8 जोड़ने पर 1/4 हो जाती है। Q17. Find fraction which becomes 1/3 when 1 subtracted from numerator and 1/4 when 8 added to denominator.
हल:
3x - y = 3 और 4x - y = 8.
हल करने पर: x = 5, y = 12.
भिन्न = 5/12
 Solution:
Eqs: 3x - y = 3 and 4x - y = 8.
Solving: x = 5, y = 12.
Fraction = 5/12
Construction
Q18. 3cm वृत्त के व्यास को बढ़ाकर केंद्र से 7cm दूर दो बिंदुओं से स्पर्श रेखाएँ खींचें। Q18. Tangents from two points 7cm away from center on extended diameter of 3cm circle.
हल:
केंद्र O से 7cm दायें और 7cm बायें बिंदु लें। लम्ब समद्विभाजक खींचें और सहायक वृत्त बनाकर स्पर्श रेखाएँ खींचें।
 Solution:
Take points 7cm left/right. Draw bisectors, auxiliary circles and then tangents.
Statistics
Q19. बहुलक ज्ञात करें: 40-60 वर्ग की बारंबारता 15 (अधिकतम) है। Q19. Find Mode: Max freq 15 is for class 40-60.
हल:
Mode = 40 + [ (15-8)/(30-20) ] × 20
= 40 + 14
बहुलक = 54
 Solution:
Mode = 40 + 14 = 54.
Mode = 54
Trigonometry
Q20. मान निकालें: 5cos²60 + 4sec²30 - tan²45 / (sin²30 + cos²30) Q20. Evaluate: 5cos²60 + 4sec²30 - tan²45 / (sin²30 + cos²30)
हल:
= (5/4 + 16/3 - 1) / 1
= (15 + 64 - 12) / 12
उत्तर = 67/12
 Solution:
= 5/4 + 16/3 - 1
Answer = 67/12